Результаты и задачи математического конкурса за 2013 год

Вот и закончился очередной конкурс. Целый год участники из разных городов России, Украины, Казахстана, Белоруссии, США, Великобритании решали задачи, и теперь мы рады подвести итоги.

Задачи и результаты конкурса 2012-го года.

Поздравляем наших победителей! Ими стали:

Бобков Григорий, Черноголовка, Школа No 75, 6 кл.
Бояринцев Максим, Харьков (Украина), Лицей No 27, 5 кл.
Ванак Павел, Москва, Школа No 2008, 7 кл.
Воронецкий Дмитрий, Москва, Школа No 1384, 8 кл.
Гринёв Филипп, Москва, Британская Международная, школа 9 кл.
Домрина Варвара, Москва, Школа No 2008, 5 кл.
Крышин Илья, Волгоград, Школа No 81, 8 кл.
Куянов Фёдор, Москва, Интеллектуал 5 кл.
Махлин Мирон, Москва, Школа No 200, 2 кл.
Можаева Мария, Санкт-Петербург, Лицей No 486, 4 кл.
Никулицкий Артём, Жуковский, Гимназия No 1, 6 кл.
Пунанова Натали, Лондон (Великобритания), The Totteridge Academy, 9 кл.
Ретинский Вадим, Ливны, Школа No 2, 7 кл.
Рязанов Даниил, Москва, Школа No 9, 6 кл.
Савченко Антон, Харьков (Украина), Лицей No 27, 7 кл.
Сандаков Никита, Черноголовка, Школа No 75, 7 кл.
Сморцов Михаил, Харьков (Украина), Лицей No, 27 6 кл.
Соколова Вера, Москва, Гимназия No 1543, 8 кл.
Толмачёв Александр, Саров, Лицей No 3, 7 кл.
Филиппов Степан, Санкт-Петербург, Гимназия No 610, 7 кл.
Чеклетов Александр, Москва, Лицей Вторая Школа, 8 кл.
Шеин Матвей, Балашов, Гимназия No 1, 6 кл.
Яворский Александр, Москва, Гимназия No 1543, 6 кл.

Благодарим всех остальных ребят, кто принимал участие в нашем конкурсе:

Абанова Софья, Стони-Брук (США)
Александрова Евгения, Москва
Андрианова Виктория, Петропавловск-Камчатский
Аракчеева Дарья, Москва
Армякова Лидия, Москва
Асланов Мухамед, Залукокоаже
Безукладникова Татьяна, Челябинск
Беляев Олег, Санкт-Петербург
Бердашкевич Роман, Москва
Бердовский Алексей, Новороссийск
Береговая Анна, Пенза
Блатова Серафима, Москва
Блик Антон, Екатеринбург
Болвинова Дарья, Нижний Новгород
Бухрякова Снежана, с. Талажанка
Вакин Арсений ,Электросталь
Валиева Рената, Москва
Василевич Данила, Минск (Белоруссия)
Васильев Валерий, с. Талажанка
Васильева Оксана, с. Талажанка
Виленский Сергей, Москва
Волков Александр, Липецк
Волков Анатолий, Москва
Волкова Ия, Москва
Вонятыцкий Александр, Москва
Воробьев Иван, Москва
Галкина Мария, Юбилейный
Геращенко Максим, Лос-Аламос (США)
Голицын Андрей, Москва
Гончар Владимир
Горячева Анастасия, Москва
Гребняк Ярослав, Зеленоград
Григорьев Иннокентий, Москва
Гришин Михаил, Липецк
Данилин Иван, Мытищи
Даниярходжаев Александр, Москва
Деб Натх Максим, Москва
Добровольский Денис, Санкт-Петербург
Дулгер Лия, Харьков (Украина)
Дульцева Александра, Новосибирск
Елисеев Егор, Азнакаево
Желободько Максим, Новосибирск
Загревский Дмитрий, Харьков (Украина)
Зарипова Алина, с. Большие Кляри
Зарицкая Валентина, Москва
Звонов Андрей, Жуковский
Зорина Екатерина, Апатиты
Иваницкий Георгий, Нижний Новгород
Иванов Илья, Долгопрудный
Иванова Алеся, Москва
Илюхин Владислав, Москва
Карзова Алина, Ливны
Карпов Иван, Москва
Киланова Полина, Новосибирск
Кирсанов Ярослав, Алексин
Киселев Максим, Снежинск
Князев Николай, Люберцы
Кобзева Анастасия, Талдыкорган (Казахстан)
Коваленко Дарья, Санкт-Петербург
Комаров Александр, Александров
Корнеенко Алексей, Москва
Коробова Александра
Корякина Екатерина, Новосибирск
Кравченко Анастасия, Харьков (Украина)
Кратман Максим, Новосибирск
Крупенин Денис
Крыжанков Степан, Санкт-Петербург
Кузнецова Виктория, Санкт-Петербург
Куклянов Данила, Москва
Кутилов Александр, Москва
Лаптев Алексей, Ярославль
Липаева Ксения, Тверь
Лисов Сергей, Москва
Лулаков Пётр, Санкт-Петербург
Лыщик Андрей, Москва
Любич Софья, Тамбов
Макрушова Диана, с. Талажанка
Малолеткина Анастасия, Санкт-Петербург
Мартемьянов Иван
Марченко Андрей, Москва
Матвеев Константин, Москва
Милкина Ольга, Москва
Морозов Савелий, Ипатово
Нагайко Сергей, Москва
Назаревский Максим, Новосибирск
Никитина Юлия, Санкт-Петербург
Никифорова Анастасия, Старая Русса
Ниматов Лев ,Москва
Новицкий Дмитрий, Ярославль
Нуртдинов Альфред, Санкт-Петербург
Остаплюк Никита, Харьков
Оськина Арина, Саранск
Пахнушев Андрей, Санкт-Петербург
Пашков Никита, Егорьевск
Переведенцев Артём, Москва
Переверзев Егорm Ярославль
Песоцкий Михаил, Москва
Петров Алексей, Новосибирск
Пикулин Иван, Жуковский
Пшунетлев Аслан, Краснодар
Рацеева Ольга, Москва
Родионова Мария, Москва
Рожков Михаил, Пенза
Романов Владимир, Москва
Рыжов Василий, Санкт-Петербург
Ряннель Анна, Санкт-Петербург
Савенков Роман, Петропавловск-Камчатский
Садыков Артур, Одинцово
Салехов Александр, Воронеж
Сергеичев Георгий, Москва
Сидорова Валентина
Спорова Алёна, Харьков (Украина)
Степанов Николай, Тейково
Сукнев Дмитрий, Санкт-Петербург
Табанаков Семён, Набережные Челны
Тарасова Алёна, Саров
Телешева Элина, Набережные Челны
Теляковская Юлия, Москва
Торопина Марта, Москва
Трушкина Вера, Саранск
Турецкий Фёдор, Москва
Фахрутдинова Валерия, Набережные Челны
Филатов Андрей ,Москва
Хакимов Артём, Москва
Хохлов Всеволод, Москва
Хроменко Анастасия, Новосибирск
Цуканов Данил, Липецк
Цысин Михаил, Алма-Ата (Казахстан)
Чижевский Артём, Санкт-Петербург
Чуханов Анатолий, Новосибирск
Шаульский Виктор, Санкт-Петербург
Шаханина Мария, Барнаул
Шерстюгина Татьяна, Новосибирск
Шишкина Анастасия, Новосибирск
Шкатова Мария ,Москва
Щербаков Артём ,Москва
Ядренцев Илья ,Москва
Янак Константин ,Петропавловск-Камчатский
Яцко Евгений, Новосибирск

X (заключительный) тур

46. Вадик и Саша увидели старые весы (со стрелкой) и взвесили на них свои портфели. Весы показали 5 кг и 4 кг. Когда они взвесили оба портфеля вместе, весы показали 8 кг.
– Как же так? – воскликнул Саша. – Пять плюс четыре не равняется восьми!
– Разве ты не видишь? – ответил Вадик. – У весов сдвинута стрелка. Так сколько же весили портфели на самом деле?

47. Внутри круга отметили точку. Разрежьте круг на две части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре.

48. Автомобильные покрышки стираются на передних колёсах через 25000 км пути, а на задних – через 15000 км пути. Какое наибольшее расстояние удастся проехать на таком автомобиле, если в пути можно поменять покрышки местами?

49. Разрешается переставить цифры 1, 3, 4 и 6 в  любом порядке и расставить между какими угодно из них знаки арифметических действий +, –, ·, : и скобки (например, так: (63 + 1) : 4). Получите выражение, значение которого равняется 24.

50.Среди 10 человек, подозреваемых в преступлении, двое виновных и восемь невиновных. Экстрасенсу предъявляют подозреваемых по трое. Если среди троих есть преступник, экстрасенс указывает на него, если там два преступника – на одного из них, а если преступников нет – на любого из троих.
а) Как за 4 таких сеанса найти хотя бы одного преступника?
б) Как за 6 таких сеансов наверняка выявить обоих преступников?

IX тур

41. Какая цифра встречается реже всего при записи первых ста натуральных чисел? А какая — чаще всего?

42. У хозяйки было два клетчатых коврика: 6×6 клеток и 8×8 клеток. Она решила сделать из них один коврик 10×10 клеток. Может ли она добиться этого, разрезав каждый коврик не более чем на две части и не повредив ни одной клеточки?

43. Три спортсмена стартовали одновременно из одной точки круговой дорожки. Через некоторое время они вновь одновременно оказались в точке старта. Известно, что за это время самый быстрый спортс­мен обгонял самого медленного 23 раза (обгон в момент старта не учитываем). Сколько всего за это время было случаев, когда один из спортсменов обгонял другого? Спортсмены бегут равномерно, с различными скоростями.

44. Дан прямоугольник ABCD. Проведена прямая, которая отсекает от стороны AB одну треть, а от стороны AD — одну четверть, считая от вершины A. Какую часть эта прямая отсекает от диагонали AC?

45. а) На столе лежат две кучки по 20 спичек в каждой. Петя и Вася играют в такую игру. Первым ходом Петя перекладывает одну спичку из какой-то кучки в другую, затем Вася тоже перекладывает одну спичку из какой-то кучки в другую. Вторым ходом Петя, а потом Вася, перекладывают уже по две спички, третьим ходом — по три, и так далее. Побеждает тот, после хода которого либо все спички впервые окажутся в одной кучке, либо соперник не сможет сделать свой ход. Придумайте для одного из игроков стратегию — как ему играть, чтобы всегда выигрывать (при любой игре его соперника).
б) Та же задача, но изначально в кучках по 25 спичек.

VIII тур

36. Андрей с папой пошли в тир. Уговор был такой: Андрей делает 5 выстрелов и за каждое попадание получает право ещё на 2 выстрела. Всего Андрей выстрелил 25 раз. Сколько раз он попал?

37. Прямоугольник ABCD разбит двумя прямыми, пересекающимися в точке X, на 4 прямоугольника (как показано на рисунке).
а) Докажите, что если X лежит на диагонали AC, то площади левого верхнего и правого нижнего прямоугольников равны (на рисунке они закрашены).
б) Пусть известно, что площади левого верхнего и правого нижнего прямоугольников равны. Обязательно ли тогда точка Х лежит на диагонали АС?

38. Кассир считает бумажные деньги так: сначала считает, сколько всего купюр (независимо от их достоинства), потом прибавляет число купюр достоинством больше рубля, затем прибавляет число купюр достоинством больше двух рублей, и так далее. Почему у него получается правильный ответ?

39. Обезьяна хочет определить, с какого самого низкого этажа 20-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. У неё есть два одинаковых ореха. Хватит ли ей для этого шести бросков? (Неразбившийся орех можно бросать снова.)

40. Двое играют в игру на белой доске 10×10 клеток. Первый каждым ходом закрашивает чёрным цветом любые 4 белые клетки, образующие квадратик 2×2. Второй каждым ходом закрашивает чёрным цветом любые 3 белые клетки, образующие «уголок». Ходят по очереди, а проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?

VII тур

31. Заяц соревновался с черепахой в беге на 100 метров. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось пробежать ещё 90 метров. На сколько метров надо отодвинуть назад стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно?

32. Один странный мальчик по средам и пятницам говорит только правду, по вторникам всегда лжёт, а в остальные дни может и солгать, и сказать правду. Семь дней подряд мальчика спрашивали, как его зовут. Первые шесть ответов, по порядку, были таковы: Женя, Боря, Вася, Вася, Петя, Боря. А как он ответил на седьмой день?

33. Как повесить шторы на карниз аккуратно? Вначале вешаем на крайние крючки края шторы. Потом, оттягивая штору, находим её середину и вешаем на средний крючок. То же самое проделываем с каждой половиной, и так далее. При каком числе крючков на карнизе удастся повесить шторы по такому методу? (Дайте простое описание таких чисел.)

34. Можно ли нарисовать на листе бумаги четыре равных квадрата и две перпендикулярные прямые так, чтобы квадраты не перекрывались (даже не касались) и каждая прямая пересекала каждый квадрат по отрезку?

35. а) В гостиницу на неделю приехал путешественник. У него вместо денег нашлась лишь серебряная цепочка из 7 звеньев, как на рисунке. Хозяин требует платить по одному звену в день без задержек, готов давать сдачу ранее полученными кусками цепочки, но вперёд плату не берёт. Путешественник распилил на цепочке всего одно звено так, что ему удалось расплачиваться все 7 дней. Как он это сделал?
б) В следующий раз у путешественника оказалась цепочка из 23 звеньев. Можно ли распилить всего два звена, чтобы расплачиваться потом ежедневно 23 дня?

VI тур

26. Вдоль стен квадратного бастиона требовалось расставить 16 часовых. Комендант расставил их по 5  человек на стену, как на рисунке. Затем пришел полковник и велел расставить их по 6 человек на стену. А после этого пришёл генерал и приказал расставить их по 7 человек на стену. И, наконец, явился маршал и приказал расставить их по 8 человек на стену. Коменданту удалось выполнить все эти приказы. Попробуйте и вы.

27. Магазин купил у производителя наборы фломастеров и продает их по 100 рублей. Если покупатель приобретает сразу два набора фломастеров, то третий набор выдается ему в подарок. Известно, что магазин получает одну и ту же выгоду как от покупки одного набора, так и от покупки двух наборов. По какой цене магазин купил наборы фломастеров у производителя?

28. В квадрат с длиной стороны 1 м вписали второй квадрат так, что его вершинами служат середины сторон первого. Во второй квадрат точно так же вписали третий. Найдите площадь третьего квадрата.

29. У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета в 1 рубль. Если Петя наугад вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдётся монета в 2 рубля. Петя вытащил из кармана 5 монет. Можно ли точно сказать, что это за монеты?

30.Имеются красный, синий, зелёный и чёрный шарики, среди которых могут быть волшебные. Детектор позволяет определить, сколько из помещённых в него шариков волшебны. Как узнать, какие шарики волшебные, а какие — нет, всего за три измерения?

V тур

В связи с задержкой журнала V тур продлён до 21 июня!

21. Петя посчитал, на каком этаже он живёт: если считать снизу, то на 33-м, а если считать сверху, то на 67-м. Сколько этажей в доме Пети?

22. В комнате стоят табуретки и стулья. У каждой табуретки 3 ноги, у каждого стула 4 ноги. Когда на  всех стульях и табуретках сидят люди, в комнате 49 ног. Сколько в комнате табуреток и сколько стульев?

23. Плитка склеена из трёх равносторонних треугольников со стороной 1 см и имеет форму четырёхугольника со сторонами 1 см, 1 см, 1 см, 2 см. Можно ли такими плитками замостить равносторонний треугольник со стороной а) 12 см; б) 13 см?

24. Перед Андреем и Серёжей на столе лежат три перевёрнутые карточки, под одной из которых написано «1», под второй «2» и под третьей «3». Андрей их перемешал и вытащил одну из них, но какую – Серёже не сказал. Серёжа может задать ему только один вопрос, на который тот, подумав, должен честно ответить «Да», «Нет» или «Не знаю», после чего Серёжа должен наверняка отгадать число, которое вытащил Андрей. Как ему это сделать?

25. В записи 30 – 33 = 3 передвиньте одну цифру так, чтобы получилось верное равенство (менять местами две цифры нельзя!).

IV ТУР

16. Поезд длиною 180 м проезжает мимо фонаря за 9 секунд. За какое время он проедет мост длиною 360 м?

17. Проверяя, что четырёхугольный кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой диагонали и убеждается, что края оба раза совпадают. Обязательно ли кусок был квадратным, если он прошёл такую проверку?

18. Год 2013 обладает тем свойством, что если его произнести по-американски, то есть «двадцать-тринадцать», то окажется, что число 2013 делится на 20 + 13, то есть на 33 (проверьте!). Квантик взял другое четырёхзначное число N, разбил его слева направо на двузначные числа и сложил – получилось число, делящееся на 33. Докажите, что и само число N тоже делится на 33.

19. Маляр-хамелеон прыгает по клетчатой доске как обычная ладья (по горизонтали и вертикали на любое число клеток). Прыгнув в некоторую клетку, он либо перекрашивает её в свой цвет, либо сам перекрашивается в цвет этой клетки. Белого маляра-хамелеона поставили на чёрную доску 8 x 8 клеток. Может ли он раскрасить её в шахматную раскраску?

20. Торговец принёс на рынок мешок орехов. Первый покупатель купил 1 орех, второй – 2 ореха, третий – 4, и так далее: каждый следующий покупатель покупал вдвое больше орехов, чем предыдущий. Орехи, купленные последним, весили 50 кг, после чего у торговца остался один орех. Сколько килограммов орехов было у торговца вначале? (Все орехи одинаковые.)

III ТУР

11. Умный продавец получил для продажи несколько пачек конвертов по 100 конвертов в пачке. Десять конвертов он отсчитывает за десять секунд. У продавца попросили 60 конвертов. Сможет ли он отсчитать их быстрее, чем за минуту?

12. Имеется много одинаковых клетчатых фигурок в виде буквы «Т» (см. рисунок). Можно ли из нескольких таких фигурок сложить такую же букву «Т», только большего размера? (В большой букве «Т» не должно быть дырок и перекрытий.)

13. Между пятью ребятами произошёл разговор.
Андрей: «А я секрет знаю!»
Боря (Андрею): «Нет, не знаешь!»
Витя: «Борис, ты неправ!»
Гоша (Вите): «Это ты неправ!»
Дима: «Врёшь, Гоша!»
Известно, что больше половины ребят сказали правду. Знает ли Андрей секрет?

14. Если Добрыня Никитич стукнет по чудо-берёзе, то с неё упадут яблоко и два банана. Если стукнет Илья Муромец — то яблоко и два апельсина. А если Алёша Попович — то яблоко, банан и апельсин. После того как богатыри постучали по чудо-берёзе, у них оказалось 2000 апельсинов, 1000 бананов и несколько яблок. А сколько?

15. Настольные часы с часовой и минутной стрелками имеют форму куба с круглым циферблатом в центре одной из граней. На часах нет чисел и каких-либо пометок, показывающих, где у них верх. Поэтому можно случайно поставить их на бок или даже вверх ногами.
а) Какое время показывают часы на рисунке?
б) Есть ли в сутках хотя бы один такой момент, когда нельзя будет определить, какое время показывают эти часы?
В обоих пунктах считайте, что полдень уже наступил, а полночь ещё нет.

II ТУР

6. К каждой грани кубика приклеили по такому же кубику. К каждой грани поверхности получившейся фигуры приклеили ещё раз по такому же кубику (при этом некоторые кубики закрыли две грани).
а) Сколько граней у полученного тела?
б) Из скольких кубиков состоит это тело?

7. Квантик ввёл для себя режим: теперь только по средам, субботам и нечётным числам он читает Пушкина. Какое наибольшее количество дней подряд он может наслаждаться творениями великого поэта?

8. Есть 101 монета. 100 из них одинаковые настоящие, а одна фальшивая, отличающаяся от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь узнать, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая? (Находить фальшивую монету не требуется.)

9. В слове КВАНТИК каждую букву заменили некоторой цифрой. Причём одинаковые буквы то есть (две буквы К) были заменены одинаковыми цифрами, а разные — разными. При этом оказалось, что выполняется следующее равенство:

Найдите, при каких значениях букв это возможно.

10. В прежние времена, когда шариковых ручек ещё не было, ученики приносили в класс и ставили на парты чернильницы-непроливайки. Это такие сосуды, в которые легко окунуть перо, но при этом чернила из них не выливались, как их ни крути и ни опрокидывай. А как они были устроены? Придумайте и нарисуйте схему таких непроливаек.

I тур

1. Арнольд Шварценеггер за один удар ломает кирпич на три меньших. За сколько ударов он сможет разбить один большой кирпич на 27 маленьких?

2. Число-палиндром — это такое число, которое не меняется при записывании его цифр в обратном порядке. Чему равна сумма самого большого шестизначного палиндрома и самого маленького пятизначного?

3. Коля и Петя играют в такую игру. На столе лежат 20 спичек. Первым ходит Коля. За один ход разрешается взять со стола одну или две спички.
а) Может ли Коля действовать так, чтобы взять последнюю спичку, независимо от игры Пети?
б) А может ли он действовать так, чтобы последнюю спичку взял Петя, как бы тот ни сопротивлялся?

4. Из прямоугольника вырезали меньший прямоугольник и получили фигуру, изображённую на рисунке. Как с помощью карандаша и линейки провести прямую, которая делит площадь этой фигуры на две равные части?

5. Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?